Álgebra lineal Ejemplos

$- 4 x - 6 y = 8$ , $24 y = - 16 x - 32$

Paso 1

Suma $16 x$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 x - 6 y = 8, 24 y + 16 x = - 32$

Paso 2

Escribe el sistema de ecuaciones en forma de matriz.

$[\begin{array}{c} - 4 & - 6 & 8 \\ 16 & 24 & - 32 \end{array}]$

Paso 3

Reduce la fila para eliminar una de las variables.

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Paso 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Paso 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{4}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot - 6 & - \frac{1}{4} \cdot 8 \\ 16 & 24 & - 32 \end{array}]$

Paso 3.1.2

Simplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 \\ 16 & 24 & - 32 \end{array}]$

Paso 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 16 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Paso 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 16 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 \\ 16 - 16 \cdot 1 & 24 - 16 (\frac{3}{2}) & - 32 - 16 \cdot - 2 \end{array}]$

Paso 3.2.2

Simplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Paso 4

Usa la matriz de resultados para declarar las soluciones finales en el sistema de ecuaciones.

$x + \frac{3 y}{2} = - 2$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 5.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 y}{2} = - 2 - x$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (- 2 - x)$

Paso 5.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Simplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2}$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y}{2} = \frac{2}{3} (- 2 - x)$

Paso 5.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (- 2 - x)$

Paso 5.3.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $3 y$ .

$\frac{1}{3} (3 (y)) = \frac{2}{3} (- 2 - x)$

Paso 5.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (3 y) = \frac{2}{3} (- 2 - x)$

Paso 5.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{3} (- 2 - x)$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $\frac{2}{3} (- 2 - x)$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{2}{3} \cdot - 2 + \frac{2}{3} (- x)$

Paso 5.3.2.1.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 5.3.2.1.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $- 2$ .

$y = \frac{2 \cdot - 2}{3} + \frac{2}{3} (- x)$

Paso 5.3.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 4}{3} + \frac{2}{3} (- x)$

Paso 5.3.2.1.3

Combina $\frac{2}{3}$ y $x$ .

$y = \frac{- 4}{3} - \frac{2 x}{3}$

Paso 5.3.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{4}{3} - \frac{2 x}{3}$

Paso 5.4

Reordena $- \frac{4}{3}$ y $- \frac{2 x}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3}$

Paso 6

La solución es el conjunto de pares ordenados que hacen que el sistema sea verdadero.

$(x, - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3})$

Paso 7

Descompone un vector de solución mediante la reorganización de cada ecuación representada en la forma reducida de fila de la matriz aumentada, a través de la resolución para la variable dependiente en cada fila, se obtiene la igualdad del vector.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} \end{array}]$